BAB
1
PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang
Dalam survai mengenai peminatan subjek, matematika
adalah cokol bokol ketakutan pelajar. Hal ini
memang sangat riskan di dengar,, apalagi saat kita tahu bahwa matematika
logical. Namun ketika ditanya mereka masih punya jawaban atas pertanyaan itu.
itu berarti bahwa mereka masih menggunakan brain nya.
Walaupun masih menggunakan otaknya, tapi kenyataan
ini justru diperparah dengan penerapan ilmu ini dikehidupan sehari-hari. Kalian
harus ingat bahwa kita menjumpai berbagai bidang dengan pengolahan ilmu
matematika.
Oleh karena itu perlu diperjelas mengenai
rumus-rumus yang lebih sederhana. Nah,
rumus yang tersulit menurut anak SMK Ambal adalah Invers Fungsi, karena saya
sendiri mulai patah semangat gegara itu. Tapi sudahlah, itu masa lalu.
Matematika adalah ilmu. Apabila didefisinikan.
Matematika berasal dari bahasa latin manthein/ manthema yang berarti belajar
untuk yang dipelajari. Sedangkan dalam bahasa
Belanda disebut wiskude/ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan
penalaran,. Matematika adalah penalaran yang jelas, sistematis, dan keterkaitan
antar konsep yang kuat. Unsure utama pekerjaan matematika adalah penalaran.
Materi 1
Fungsi invers dari fungsi komposisi merupakan materi lanjutan dari
fungsi invers matematika dan fungsi komposisi, jadi kedua materi tersebut
adalah materi prasyarat untuk mempelajari materi ini. . Jika anda belum
menguasai kedua materi diatas pelajari terlebih dahulu pada bagian lain dari
blog ini.
Jika h(x) adalah fungsi komposisi
yang dibentuk dari fungsi f(x) dan g(x), maka kemungkinan fungsi h(x) adalah :
sehingga
fungsi invers dari h (x) adalah :
Bentuk-bentuk seperti 
seperti ini disebut fungsi invers dari fungsi komposisi.
seperti ini disebut fungsi invers dari fungsi komposisi.
Bagaimana cara menentukan fungsi invers dari fungsi
komposisi? Dibawah ini rumus fungsi invers dari fungsi komposisi adalah :
Agar
lebih memahami cara menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi,
perhatikan contoh-contoh dibawah ini :
Contoh 1
:
Diketahui 
,
tentukanlah 
,
tentukanlah
[Penyelesaian]
sekarang kita tentukan 
, yaitu:
, yaitu:
Maka,
Contoh 2 :
Diketahui fungsi f dan g sebagai berikut :
Tentukanlah :
[Penyelesaian]
Materi
2
Fungsi
Invers
v Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1:
B ®
A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f
mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A
jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)
(f o f -1)(x) = (f-1 o
f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
v Rumus
Cepat Menentukan Fungsi Invers
i.
f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =
; a ≠ 0
; a ≠ 0
ii.
f(x) = 
; x ≠ -
® f -1(x) = 
; x ≠
; x ≠ - ® f -1(x) = ; x ≠
iii. f(x) = acx ; a > 0 ® f -1(x)
= alog x1/c = 
alog x ; c ≠ 0
alog x ; c ≠ 0
iv. f(x) = a log cx ; a > 0;
cx > 0 ® f -1(x) = 
; c ≠ 0
; c ≠ 0
v. f(x) =
ax²+bx+c; a≠0 ® f -1(x)=
Catatan:
Fungsi kuadrat
secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika
domainnya dibatasi.
Contoh 5:
Diketahui f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1
(x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang
berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x)
=
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x)
=
Contoh 6:
Diketahui 
Tentukan 
!
Cara
1:
y(x
- 4) = 2x + 1
yx
– 4y = 2x + 1
yx
– 2x = 4y + 1
x(y
– 2) = 4y + 1
x
= 
f
-1(x) = 
Cara
2:
f(x)
= ® f -1(x) =
® f -1(x) = 
® f -1(x) = 
Contoh 7:
Jika 
dan 
. Tentukan nilai k!
dan . Tentukan nilai k!
Cara
1:
y(3x
- 4) = 2x
3xy
– 4y = 2x
3xy
– 2x = 4y
x(3y
– 2) = 4y
x
= 
f
-1(x) = 
f
-1(k) = 
1
=
3k
– 2 = 4k
k
= -2
Cara
2:
f -1(k) = a ® k = f(a)
® k = f(1) = 
Contoh
8:
Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n
= b ®
n = 
)
)
2x = 
x = 
f – 1 (x) = 
Cara 2:
f(x) = acx ® f -1(x) = alog x
alog x
f(x) = 52x
®
f – 1 (x) =
Contoh 9:
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1
(x)!
Cara 1:
y = x2 – 6x + 4
y – 4 = x2 – 6x
y – 4 = (x – 3) 2 – 9
y + 5 = (x – 3) 2
x
– 3 = ±
x
= 3 ±
f
– 1 (x) = 3 ± 
Cara
2:
f(x)
= ax²+bx+c ® f -1(x) = 
f(x)
= x2 – 6x + 4 ®
f -1(x) = 
Contoh
10:
Diketahui
, tentukan f –
1 (x)!
, tentukan f –
1 (x)!
Cara
1:
y
– 2 = 
(y
– 2)5 = 1 – x3
x3
= 1 - (y – 2)5
x
= 
f
– 1 (x) = 
Cara
2:
® f – 1 (x) = 
® f – 1 (x) = 
B. Rumusan masalah
Dari
latar belakang masalah dapat diidentifikasi masalah, yaitu:
apakah (g o f)-1(x)=(f-1
o g-1)(x) ?
C. Tujuan
ü Untuk
memperjelas mengenai materi fungsi invers
ü Menyelesaikan
tugas makalah mata pelajaran Matematika
ü Untuk
membuktikan apakah (g o f)-1(x)=(f-1 o g-1)(x).
BAB II
PEMBAHASAN
Untuk membuktikan apakah (g o f)-1(x)=(f-1
o g-1)(x), maka kita perlu
berlatih dan mengerjakan soal matematika.
Soal 1.
Diketahui : g(x)= 2x+2
f(x)= x+5
hitung : a.(g o f)-1(x)=
?
b.(f-1 o g-1)(x)= ?
Jawab :
a. (g
o f)-1(x)
(g o f)(x) =g(f(x))
= 2(x+5)+2
= 2x+10+2
= 2x+12
Kita
misalkan (g o f)(x) dengan y
(g
o f) (x) = y
2x
+12 = y
2x
= y-12
x
=
sehingga
(g o f)-1(x) =
b. (f-1
o g-1)(x)
Ø Kita
cari dulu f-1(x)
f(x)=
x+5
y
= x+5
y-5=
x, jadi f-1(x) = x-5
Ø Cari
g-1(x)
g(x)
= 2x + 2
y = 2x+2
y-2 = 2x
=x, jadi g-1(x) =
Ø (f-1
o g-1)(x)=f-1(g-1(x))
=
1(
-5
-5
=
=
=
Soal 2
Diketahui : g(x)= 5x+1
f(x)= x+2
hitung : a.(g o f)-1(x)=
?
b.(f-1 o g-1)(x)= ?
Jawab :
a. (g
o f)-1(x)
(g o f)(x) =g(f(x))
= 5(x+2)+1
= 5x+10+1
= 5x+11
Kita
misalkan (g o f)(x) dengan y
(g
o f) (x) = y
5x
+11 = y
5x
= y-11
x
=
sehingga
(g o f)-1(x) =
b. (f-1
o g-1)(x)
Ø Kita
cari dulu f-1(x)
f(x)=
x+2
y
= x+2
y-2=
x, jadi f-1(x) = x-2
Ø Cari
g-1(x)
g(x)
= 5x + 1
y = 5x+1
y-1 = 5x
=x, jadi g-1(x) =
Ø (f-1
o g-1)(x)=f-1(g-1(x))
=
1(
-2
-2
=
=
=
BAB
III
KESIMPULAN
Dari pembahasan
tadi dapat disimpulkan bahwa (g o f)-1(x) dan (f-1
o g-1)(x) adalah sama. Karena
apabila sebuah soal yang sama diterapkan dalam kedua rumus tersebut terbukti
sama.
Demikian
pembahasan tentang materi invers, kami kelompok 2 meminta maaf apabila ada
salah. Selain itu, kami juga menerima kritik dan saran yang membangun karena
kami merasa bahwa kami jauh dari kelebihan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar